Czy zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny?
Czy zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny? Jakie są zbiory przeliczalne? Czy zbiór 0 1 jest przeliczalny?
1 Odpowiedź
Tak, zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Oznacza to, że można go zestawić w jednoznaczną korespondencję (bijekcję) z zbiorem liczb naturalnych, co pozwala na „policzenie” elementów zbioru liczb wymiernych, mimo że jest ich nieskończenie wiele.
Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można zapisać w formie ułamka (\frac{a}{b}), gdzie (a) jest liczbą całkowitą, a (b) jest liczbą całkowitą różną od zera. Włącza to w sobie wszystkie liczby całkowite (gdzie (b = 1)), liczby ułamkowe oraz liczby ujemne, które również możemy przedstawić w formie ułamka.
Dowód przeliczalności zbioru liczb wymiernych opiera się na metodzie przekątniowej Cantora, która pozwala na uporządkowanie wszystkich liczb wymiernych w sposób, który umożliwia ich przeliczenie.
Jednym ze sposobów jest uporządkowanie liczb wymiernych w nieskończenie wielką tabelę, gdzie wiersze i kolumny odpowiadają licznikom i mianownikom ułamków, a następnie „przejście” przez tę tabelę zygzakiem, co pozwala na przypisanie każdej liczbie wymiernej unikalnej liczby naturalnej.
Należy jednak pamiętać o unikaniu powtórzeń (np. ( \frac{2}{4} ) jest tą samą liczbą co ( \frac{1}{2} )) oraz uwzględnieniu liczb ujemnych.
Choć zbiór liczb wymiernych jest nieskończony, jego przeliczalność oznacza, że w sensie matematycznym jest „mniej liczny” niż zbiór liczb rzeczywistych, który jest nieprzeliczalny.
